千斤顶与压力表校验张拉力与表值回归分析

详细论述了千斤顶与压力表校验张拉力与表值回归分析法。

规范规定，预应力混凝土用千斤顶与压力表的定期检测时，两者应视为一个单元，同时校验，配套校验，其目的为确定千斤顶张拉力（kN)与压力表读数（MPa)之间的关系曲线。校验单位用标准测力仪对千斤顶进行力值校验，得出压力表读数值（以下简称表值）和与其对应的标准测力仪显示值（下简称力值）。以某顶号为2013，表号为7707的校验数据为例，进行回归分析，以揭示由实验检测结果反映物理量力值与表值之间关系的内在规律，并找出它们之间的定量表达式-回归方程。

1.回归分析

实验已证明，千斤顶拉力值与压力表读数值之间回归关系是一元线性回归，也可以从散点图观察得知。我们根据表1的数据，找出千斤顶拉力（设为y)和表值(设为x)两个变量间的经验公式：

y=b+ax(1)

(1)式就叫做y对x的回归线（也就是回归方程)

由于建立两个变量间直线关系的方法有多种，所以不同人，用不同方法，所得到的系数a、b可能不同。下面介绍建立两个变量y、x之间直线关系式的几种常用方法，供大家参考和比较使用。

(1)作图法:以表1值为例在坐标纸上作图，以横坐标代表表值，以纵坐标代表力值，将表1中10对测试值绘于图，可得10个点，通过10点划过一直线使两边分布均匀，这条直线表示y=b+ax，就是力值与表值的相关式，延长

直线使之与纵坐标y轴相交，这个交点至零点（坐标原点）的距离即为截距b值，直线与x轴交角a的正切，即为斜率，斜率a=tgx=Ay/Ax。以表1值求a值，可以量取图上Ay、Ax长度，也可量a角，也可选任意两点计算，如表1的第2和第8组计算：a=Ay/Ax=(821.8-126.4)/(42-6)=695.4/36=19.32

b=0(第1组x=0，y=0)这时力值与表值的关系式y=b+19.32x(2)

值得注意的是用作图法求两个变量之间直线经验公式时，特别要注意b与a的正负号，当因变量y随自变量x增大而增大，或随x值减小而减小时则斜率为正号，反之为负值，其相关系数Y可用后面将介绍的简易近似法求得，本例：丫=-cos(10/10)n=1

（2）选点法

先将力值与表值重新按大小次序排列（本例已按大小顺序排列），在10对测试值中大小向两端任选一对测试值，建联立方程:y1=b+ax[y2=b+ax,

如选第2对和第8对测试值，解联立方程126.4=b+a>6821.6=b+aX42求得b=1.05a=19.3166

则相关关系式为：y=1.05+19.3116x(3)

（3）平均法

把各组值按大小排列，再分成前5对为一组，后5对为另一组，求出两组测试值x和y的算术平均值，x和y。

第1组X1=60.1yi=1190.1

第2组X2=208.0=4067.8

解联立方程1190.1=b+60a

4067.8=b+208a

得a=19.443,b=2.36

就可得出直线关系式：y=236+19.443x(4)

(4)最小二乘法

最小二乘法原理是使各测得值与统计所得到的关系直线间的误差平方和为最小,这是一种常用的统计方法。

计算结果a=19.426,b=5.15,相关关系式为y=5.15+19.426x(5)

上述4种求直线方程的方法都可应用，比较4种方法得出的关系式可以看出，b值相差多,而a值相近,所以相差不是很大,下面任选几组值代入进行粗略检验,如选第6组实测值：

以x=30代入(2)y=0+19.32X30=579.6,其与实验‘真值”=589.3,误差为1.6%。

以x=30代入（3)得出y=1.05+19.3116X30=580.5,其与实验真值”y=589.3,误差为1.5%。

以x=30代入（4)得出y=2.36+19.44X30=585.6,其与实验真值”y=589.3,误差为0.6%。

以x=30代入（5)得出y=5.15+19.426X30=587.8,其与实验“真值”y=589.3,误差为0.25%。

由于这4种方法求得的相关系数都近似于1。利用表1数据不用求相关回归方程,直接内插更为方便准确,这也是规范不要求必须求回归方程,而检测单元也提示“对所需要的负荷点,可通过内插法求得的原因。

2.线性回归方程的效果检验

(1)相关系数检验:在实际工作中,只有当x和y之间存在某种线性关系,所配出的直线才有意义。检验回归线有无意义。数学上引进相关系数T这个量，Y的绝对值越接近1,x与y的线性关系越好，如果T接近于0,则认为x与y之间没有线性关系，但不排除x与y之间有非线性关系，T的正负号取决于回归线斜率a的符号,对所分析的自变量x和因变量y,只有当相关系数Y的绝对值大于一定程度,才可能用回归线来表示他们之间的关系,这要通过‘相关系数检验表”检验,表中数叫做相关系数起码值,只有求出相关系数大于表中数,才能考虑用直线来表述x与y的关系，‘相关系数检验表”一般数理统计书中都有,今摘录如表2。

可以看出测试的组越多,起码值越小,某标千斤顶与压力表值得相关系数Y远大于表2的起码值0.632和0.765,说明直线关系数非常明显、密切,这也是检测单元说明中不用求回归方程,可直接用内插法求解的依据。

(2)回归方程效果检验

前面已述，回归方程在一定程度上反映两个量之间的内在规律,但在求出回归方程后,如何利用它,根据自变量x的取值来控制因变量y的取值,以及控制精度如何等,都是我们所要关心的。确定a、b的数值后建立了方程，yt=b+ax；从公式中知道对每个给定的自变量&值就有两个y；值,即实测值y；和推定值（或称预测值、估计值）y',他们之间误差A=y；-y；。(上面几种回归分析,我们已举例算出代表点的误差）所以有必要进行线性回归方程的效果检验。数理统计理论已证明标准差愈小，回归方程预报的值愈精确(按正态分布有95.4%的y值落在y=b±2s+ax之间，本例样本标准差Sx=1.784)。

综上所述,通过回归分析、相关系数的显著性检验和回归方程的检验,可知实测数据与回归方程的相关密切程度,主要由相关系数T来判断，T愈接近于1,说明相关愈密切。对回归方程所揭示的规律性是否明显,以标准差s来表示,s愈小,说明回归方程预报越精确,反之亦然。

应该指出,在实际问题中,有时自变量和因变量之间不一定是线性关系,而可能是某种非线性关系，这类非线性问题可以通过变量变换,转化为线性回归模型来解决,本例千斤顶拉力和压力表值关系用一元回归分析计算,这只是线性回归中最简单的情况,在绝大多数实际问题中,影响因变量的因素往往不止一个,而是多个,这就需要用多元回归分析来解决,而多元回归分析原理与一元回归分析基本相同，只是计算上复杂一点，实际操作上,二元回归问题，只要借用简单计算器就可以轻易地建立二元回归方程，y=a+b?x+cx；,同时求得复相关系数R。

3.相关系数简易、近似求法

将U,y)多组值在平面上作图（图1),作垂线A将点子左右均分,再作水平线B将点子上下均分，

尽量使A、B线上无点,若右上,左上、左下、右下点数分别为n,巧，巧，nt,则了=-cos[(n+n,)/Sn]n。

本例n=5,n,=n,=0,n,=5Y=-cos[(n+n,)/6n]n=-cos[(5+5)/

10]宂=1

至于因为相关系数T小于某个值如0.9999应进行“单点值标定”要弄清这个要求是否有必要，本人认为应首先弄清以下几点：

（1）何为“单点值标定”单点值是否理解为因为检定时标准测力仪显示值与压力表读数值,线性回归，T不符合要求,就采用视需要的各张拉值,确定对应的表标值做梁张拉时控制的依据,这种做法实际上是说校准检验时，x、y回归上存在大的误差，使得相关系数T不符合要求,实际上回归分析对不同点数n,有不同检验起码值要求。例如:只有3个点，P=1时T=0.9999也是不符合直线回归条件的。单点标定必须保证误差不能出现在单点值上，这种做法等于放弃保证率可达95%以上数理统计法,而采用保证率只有50%单点计算法。

（2）“单点值标定”在梁片张拉时的适用性单片梁张拉至少要单点标定10%(Tk、20%(Tk和100%k三个点,而一个制梁场梁片有多种,就得每一种梁都在这个千斤顶、压力表上有三个校准值,这些孤立点间是否也要有建立相关系数的必要？

（3）标定时,标准测力仪显示值准确到百分位,压力表读数值为整数位,也就是说表值保留有一位可疑数字,即有±1个单位（MPa)误差。

我们试做以下计算,将最小二乘法得到的回归方程y=5.15+19.426x,用y的计算值y=587.8代入求x=29.9933MPa,而单点x真值x=30,误差A=30-29.9933=0.0067(MPa),这与检定表值误差0.5MPa相差两个数量级,而且0.0067MPa这个值在压力表上根本反应不出来(表刻度值为1MPa)。